アキレウスと亀

2005-08-23より.
最近きしださんの日記に触発されることが多いです.
相性がいいのかも？

それはさておき，アキレウスと亀，懐かしいなー.
ちなみにWikipediaより引用すると，

あるところにアキレウスと亀がいて、二人は徒競走をすることとなった。しかしアキレウスの方が足が速いのは明らかなので亀がハンデをもらって、いくらか進んだ地点（地点Ａとする）からスタートすることとなった。

スタート後、アキレウスが地点 A に達した時には亀はアキレウスがそこに達するまでの時間分先に進んでいる（地点 B）。アキレウスが今度は地点 B に達したときには亀はまたその時間分先へ進む（地点 C）。同様にアキレウスが地点 C の時には亀はさらにその先にいることになる。この考えはいくらでも続けることができ、結果、いつまでたってもアキレウスは亀に追いつけないことになる。

自分がこれを知ったのは小学生のころ，父親が数学好きで，
数学者の矢野健太郎さんの本を多く持っていたのを
興味本位で眺めてたんですね.
この華麗な論法には頭がクラクラしてました.
たぶんこのときの体験が自分の人格の形成に
何らかの影響を与えてるのではと思っています.

この論法のどこに問題があるか？
それは無限という概念の捉え方にあります.
確かに時間や空間を際限なく切り刻むことは出来ます.
しかしそこから，「いつまでたっても追いつけない」という結論を
導くところに飛躍があります.
実際にはある瞬間に，ある地点でアキレウスは亀に追いつけます.
その有限の空間，有限の時間を無限に切り刻める，というだけのことなんですね.

例えば，1を2で割り続けて，それらをすべて足してみます.
つまりを考えた場合，
かりに無限に足し合わせたとしても，有限値に収束するわけです.

相変わらずきしださんの本意とずれまくってる気がしますが，
まあ，あまり気にしないってことで.